# Generátor prvočísel

> Vypište všechna prvočísla v rozsahu nebo náhodně vyberte N z nich pomocí Eratosthenova síta. Okamžitý výpočet přímo v prohlížeči, bez serveru.

URL: https://acrafto.com/cs/generator-prvocisel/

Tools are interactive browser apps; there is no public API, no endpoints to call and no server-side processing. To use a tool, open its HTML page in a browser.

## Co je prvočíslo?

**Prvočíslo** je přirozené číslo větší než 1, které je dělitelné pouze jedničkou a sebou samým. Nejmenší prvočísla jsou 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Číslo 2 je jediné sudé prvočíslo – všechna ostatní sudá čísla jsou dělitelná dvěma.

Čísla jako 4 (= 2 × 2), 6 (= 2 × 3) nebo 15 (= 3 × 5) prvočísla **nejsou** – říkáme jim čísla složená.

## Jak generátor funguje?

Pro výpis všech prvočísel v rozsahu používáme **Eratosthenovo síto** – jeden z nejstarších a nejefektivnějších algoritmů, který popsal řecký matematik Eratosthenés ze Kyrény kolem roku 240 př. n. l.

Algoritmus postupně vyškrtává násobky každého nalezeného prvočísla. Co zbyde, jsou prvočísla. Celý výpočet probíhá **přímo ve vašem prohlížeči** – žádná data se neposílají na server.

Pro náhodný výběr generátor nejprve sestaví seznam všech prvočísel v rozsahu a poté z něj náhodně vybere požadovaný počet pomocí kryptograficky bezpečného generátoru (`crypto.getRandomValues()`).

## Funkce generátoru

- **Všechna prvočísla** – vypíše každé prvočíslo v zadaném rozsahu (max. 10 000)
- **Náhodný výběr** – vybere N náhodných prvočísel z rozsahu (vhodné pro velké rozsahy)
- **Seřazení** – výsledky seřaďte vzestupně
- **Oddělovač** – zvolte, jak budou čísla oddělena při kopírování
- **Rychlé předvolby** – nejčastější rozsahy jedním kliknutím

## Kde se prvočísla používají?

### Kryptografie a bezpečnost

Prvočísla jsou základem moderní kryptografie. Algoritmy jako **RSA** fungují na principu, že součin dvou velkých prvočísel je snadné spočítat, ale zpětné rozložení na prvočinitele je výpočetně velmi náročné.

- **RSA šifrování** – klíče jsou generovány z dvou velkých prvočísel
- **Diffie-Hellman** – výměna klíčů nad prvočíselným modulem
- **Hashovací funkce** – prvočísla jako magické konstanty (SHA, MD5)

### Matematika a věda

- **Teorie čísel** – základní stavební kameny celých čísel
- **Goldbachova domněnka** – každé sudé číslo > 2 lze vyjádřit jako součet dvou prvočísel (dosud nedokázáno)
- **Riemannova hypotéza** – jeden z Hilbertových problémů, týká se rozložení prvočísel

### Praktické použití

- **Hash tabulky** – velikost tabulky jako prvočíslo snižuje kolize
- **Generátory pseudonáhodných čísel** – lineární kongruence s prvočíselným modulem
- **Hudba a rytmus** – polyrhytmy s prvočíselnými délkami cyklů

## Rozložení prvočísel

Prvočísla jsou mezi přirozenými čísly rozmístěna nepravidelně, ale jejich hustota klesá s rostoucím rozsahem. Toto popisuje **Věta o prvočíslech**: počet prvočísel do N je přibližně N / ln(N).

| Rozsah | Počet prvočísel |
| --- | --- |
| 1–10 | 4 |
| 1–100 | 25 |
| 1–1 000 | 168 |
| 1–10 000 | 1 229 |
| 1–100 000 | 9 592 |
| 1–1 000 000 | 78 498 |

## Eratosthenovo síto krok za krokem

```
Rozsah 2–30:
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30]

1. Vyber 2, vyškrtni násobky: 4, 6, 8, 10, 12...
2. Vyber 3, vyškrtni násobky: 9, 15, 21, 27...
3. Vyber 5, vyškrtni násobky: 25...
4. √30 ≈ 5.5 → hotovo

Prvočísla: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
```

## Eratosthenovo síto v kódu

### JavaScript

```
function sieve(to) {
  const composite = new Uint8Array(to + 1);
  const primes = [];
  for (let p = 2; p <= to; p++) {
    if (composite[p]) continue;
    primes.push(p);
    for (let j = p * p; j <= to; j += p) composite[j] = 1;
  }
  return primes;
}
```

### Python

```
def sieve(n):
    composite = bytearray(n + 1)
    primes = []
    for p in range(2, n + 1):
        if not composite[p]:
            primes.append(p)
            for j in range(p * p, n + 1, p):
                composite[j] = 1
    return primes
```

## Časté otázky (FAQ)

### Je 1 prvočíslo?

Ne. Číslo 1 se tradičně nepovažuje za prvočíslo. Důvod je matematický – pokud bychom 1 za prvočíslo považovali, ztratila by platnost věta o jednoznačném rozkladu na prvočinitele.

### Je 2 prvočíslo?

Ano. Číslo 2 je nejmenší a zároveň jediné sudé prvočíslo. Všechna ostatní sudá čísla jsou dělitelná dvěma, tedy složená.

### Kolik prvočísel existuje?

Nekonečně mnoho. Euklidés to dokázal kolem roku 300 př. n. l. elegantním důkazem sporem: předpokládejme, že existuje konečně mnoho prvočísel. Jejich součin + 1 pak nemůže být dělitelný žádným z nich – tedy je to nové prvočíslo, spor.

### Co jsou dvojčata prvočísel?

Dvojčata prvočísel jsou páry prvočísel lišící se o 2, například (3, 5), (11, 13), (17, 19), (41, 43). Zda jich existuje nekonečně mnoho, je dodnes nevyřešenou otázkou matematiky (Domněnka o prvočíselných dvojčatech).

### Jak rychle algoritmus pracuje?

Eratosthenovo síto má časovou složitost O(n log log n). Pro rozsah do 10 milionů proběhne výpočet v prohlížeči typicky pod 100 ms.

## Other languages

- Slovenčina (sk): [Generátor prvočísel](https://acrafto.com/sk/generator-prvocisel/) ([Markdown](https://acrafto.com/sk/generator-prvocisel/index.md))
- English (en): [Prime Number Generator](https://acrafto.com/en/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/en/prime-number-generator/index.md))
- Deutsch (de): [Primzahlgenerator](https://acrafto.com/de/online-primzahl-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/de/online-primzahl-generator/index.md))
- Français (fr): [Générateur de nombres premiers](https://acrafto.com/fr/generateur-nombres-premiers/) ([Markdown](https://acrafto.com/fr/generateur-nombres-premiers/index.md))
- Español (es): [Generador de números primos](https://acrafto.com/es/generador-numeros-primos-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/es/generador-numeros-primos-online/index.md))
- Italiano (it): [Generatore di numeri primi](https://acrafto.com/it/generatore-numeri-primi/) ([Markdown](https://acrafto.com/it/generatore-numeri-primi/index.md))
- Português (pt): [Gerador de números primos](https://acrafto.com/pt/gerador-numeros-primos-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/pt/gerador-numeros-primos-online/index.md))
- Nederlands (nl): [Priemgetallengenerator](https://acrafto.com/nl/online-priemgetalgenerator/) ([Markdown](https://acrafto.com/nl/online-priemgetalgenerator/index.md))
- Polski (pl): [Generator liczb pierwszych](https://acrafto.com/pl/generator-liczb-pierwszych/) ([Markdown](https://acrafto.com/pl/generator-liczb-pierwszych/index.md))
- Română (ro): [Generator numere prime](https://acrafto.com/ro/generator-numere-prime-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/ro/generator-numere-prime-online/index.md))
- Magyar (hu): [Prímszám generátor](https://acrafto.com/hu/primszam-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/hu/primszam-generator/index.md))
- Ελληνικά (el): [Γεννήτρια πρώτων αριθμών](https://acrafto.com/el/gennitria-proton-arithmon-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/el/gennitria-proton-arithmon-online/index.md))
- Български (bg): [Генератор на прости числа](https://acrafto.com/bg/generator-na-prosti-chisla-onlajn/) ([Markdown](https://acrafto.com/bg/generator-na-prosti-chisla-onlajn/index.md))
- Hrvatski (hr): [Generator prostih brojeva](https://acrafto.com/hr/generator-prostih-brojeva-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/hr/generator-prostih-brojeva-online/index.md))
- Slovenščina (sl): [Generator praštevil](https://acrafto.com/sl/generator-prastevil/) ([Markdown](https://acrafto.com/sl/generator-prastevil/index.md))
- Eesti (et): [Algarvude generaator](https://acrafto.com/et/algarvude-generaator/) ([Markdown](https://acrafto.com/et/algarvude-generaator/index.md))
- Latviešu (lv): [Pirmskaitļu ģenerators](https://acrafto.com/lv/primskaitlu-generators/) ([Markdown](https://acrafto.com/lv/primskaitlu-generators/index.md))
- Lietuvių (lt): [Pirminių skaičių generatorius](https://acrafto.com/lt/pirminiu-skaiciu-generatorius/) ([Markdown](https://acrafto.com/lt/pirminiu-skaiciu-generatorius/index.md))
- Svenska (sv): [Primtalsgenerator](https://acrafto.com/sv/primtalsgenerator-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/sv/primtalsgenerator-online/index.md))
- Dansk (da): [Primtalsgenerator](https://acrafto.com/da/primtal-generator-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/da/primtal-generator-online/index.md))
- Suomi (fi): [Alkulukugeneraattori](https://acrafto.com/fi/alkuluku-generaattori/) ([Markdown](https://acrafto.com/fi/alkuluku-generaattori/index.md))
- Norsk (no): [Primtallsgenerator](https://acrafto.com/no/primtallsgenerator/) ([Markdown](https://acrafto.com/no/primtallsgenerator/index.md))
- Українська (uk): [Генератор простих чисел](https://acrafto.com/uk/generator-prostyh-chysel/) ([Markdown](https://acrafto.com/uk/generator-prostyh-chysel/index.md))
- Русский (ru): [Генератор простых чисел](https://acrafto.com/ru/generator-prostykh-chisel-onlayn/) ([Markdown](https://acrafto.com/ru/generator-prostykh-chisel-onlayn/index.md))
- Српски (sr): [Generator prostih brojeva](https://acrafto.com/sr/generator-prostih-brojeva-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/sr/generator-prostih-brojeva-online/index.md))
- Македонски (mk): [Генератор на прости броеви](https://acrafto.com/mk/generator-na-prosti-broevi/) ([Markdown](https://acrafto.com/mk/generator-na-prosti-broevi/index.md))
- Bosanski (bs): [Generator prostih brojeva](https://acrafto.com/bs/generator-prostih-brojeva/) ([Markdown](https://acrafto.com/bs/generator-prostih-brojeva/index.md))
- Shqip (sq): [Gjenerator numrash të thjeshtë](https://acrafto.com/sq/gjenerator-numrash-te-thjeshte/) ([Markdown](https://acrafto.com/sq/gjenerator-numrash-te-thjeshte/index.md))
- Türkçe (tr): [Asal sayı bulucu](https://acrafto.com/tr/asal-sayi-olusturucu/) ([Markdown](https://acrafto.com/tr/asal-sayi-olusturucu/index.md))
- 日本語 (ja): [素数一覧・生成ツール](https://acrafto.com/ja/online-prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/ja/online-prime-number-generator/index.md))
- 한국어 (ko): [소수 구하기](https://acrafto.com/ko/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/ko/prime-number-generator/index.md))
- العربية (ar): [مولد الأعداد الأولية](https://acrafto.com/ar/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/ar/prime-number-generator/index.md))
- हिन्दी (hi): [अभाज्य संख्या जनरेटर](https://acrafto.com/hi/prime-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/hi/prime-generator/index.md))
- Bahasa Indonesia (id): [Generator bilangan prima](https://acrafto.com/id/generator-bilangan-prima-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/id/generator-bilangan-prima-online/index.md))
- Tiếng Việt (vi): [Trình tạo số nguyên tố](https://acrafto.com/vi/bo-tao-so-nguyen-to-truc-tuyen/) ([Markdown](https://acrafto.com/vi/bo-tao-so-nguyen-to-truc-tuyen/index.md))
- ไทย (th): [หาจำนวนเฉพาะ](https://acrafto.com/th/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/th/prime-number-generator/index.md))
- עברית (he): [מחולל מספרים ראשוניים](https://acrafto.com/he/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/he/prime-number-generator/index.md))