# Primzahlgenerator

> Generiert alle Primzahlen in einem Bereich oder eine zufällige Auswahl mit dem Sieb des Eratosthenes. Schnell, kostenlos, direkt im Browser – ohne Server.

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Tools are interactive browser apps; there is no public API, no endpoints to call and no server-side processing. To use a tool, open its HTML page in a browser.

## Was ist eine Primzahl?

Eine **Primzahl** ist eine natürliche Zahl größer als 1, die nur durch 1 und sich selbst teilbar ist. Die kleinsten Primzahlen sind 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Die Zahl 2 ist die einzige gerade Primzahl – alle anderen geraden Zahlen sind durch zwei teilbar.

Zahlen wie 4 (= 2 × 2), 6 (= 2 × 3) oder 15 (= 3 × 5) sind **keine** Primzahlen – wir nennen sie zusammengesetzte Zahlen.

## Wie funktioniert der Generator?

Zum Auflisten aller Primzahlen in einem Bereich verwenden wir das **Sieb des Eratosthenes** – einen der ältesten und effizientesten Algorithmen, der um 240 v. Chr. vom griechischen Mathematiker Eratosthenes von Kyrene beschrieben wurde.

Der Algorithmus streicht sukzessiv die Vielfachen jeder gefundenen Primzahl durch. Was übrig bleibt, sind die Primzahlen. Die gesamte Berechnung erfolgt **direkt in Ihrem Browser** – es werden keine Daten an den Server gesendet.

Für die zufällige Auswahl erstellt der Generator zunächst eine Liste aller Primzahlen im Bereich und wählt dann mithilfe eines kryptographisch sicheren Generators (`crypto.getRandomValues()`) die gewünschte Anzahl zufällig daraus aus.

## Funktionen des Generators

- **Alle Primzahlen** – listet jede Primzahl im angegebenen Bereich auf (max. 10.000)
- **Zufällige Auswahl** – wählt N zufällige Primzahlen aus einem Bereich aus (geeignet für große Bereiche)
- **Sortierung** – sortiert die Ergebnisse aufsteigend
- **Trennzeichen** – wählen Sie, wie die Zahlen beim Kopieren getrennt werden
- **Schnelle Voreinstellungen** – die häufigsten Bereiche mit einem Klick

## Wo werden Primzahlen verwendet?

### Kryptographie und Sicherheit

Primzahlen sind die Grundlage der modernen Kryptographie. Algorithmen wie **RSA** basieren auf dem Prinzip, dass das Produkt zweier großer Primzahlen leicht zu berechnen ist, die Rückführung in Primfaktoren jedoch rechnerisch sehr aufwendig ist.

- **RSA-Verschlüsselung** – Schlüssel werden aus zwei großen Primzahlen generiert
- **Diffie-Hellman** – Schlüsselaustausch über einem Primzahlmodul
- **Hashfunktionen** – Primzahlen als magische Konstanten (SHA, MD5)

### Mathematik und Wissenschaft

- **Zahlentheorie** – die grundlegenden Bausteine der ganzen Zahlen
- **Goldbachsche Vermutung** – jede gerade Zahl > 2 kann als Summe zweier Primzahlen ausgedrückt werden (bisher unbewiesen)
- **Riemannsche Vermutung** – eines der Hilbertschen Probleme, betrifft die Verteilung der Primzahlen

### Praktische Anwendungen

- **Hash-Tabellen** – eine Primzahl als Tabellengröße reduziert Kollisionen
- **Pseudozufallszahlengeneratoren** – lineare Kongruenzen mit einem Primzahlmodul
- **Musik und Rhythmus** – Polyrhythmen mit Primzahllängen von Zyklen

## Verteilung der Primzahlen

Primzahlen sind unter den natürlichen Zahlen unregelmäßig verteilt, aber ihre Dichte nimmt mit zunehmendem Bereich ab. Dies beschreibt der **Primzahlsatz**: Die Anzahl der Primzahlen bis N ist ungefähr N / ln(N).

| Bereich | Anzahl der Primzahlen |
| --- | --- |
| 1–10 | 4 |
| 1–100 | 25 |
| 1–1.000 | 168 |
| 1–10.000 | 1.229 |
| 1–100.000 | 9.592 |
| 1–1.000.000 | 78.498 |

## Sieb des Eratosthenes Schritt für Schritt

```
Bereich 2–30:
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30]

1. Wähle 2, streiche Vielfache: 4, 6, 8, 10, 12...
2. Wähle 3, streiche Vielfache: 9, 15, 21, 27...
3. Wähle 5, streiche Vielfache: 25...
4. √30 ≈ 5.5 → fertig

Primzahlen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
```

## Sieb des Eratosthenes im Code

### JavaScript

```
function sieve(to) {
  const composite = new Uint8Array(to + 1);
  const primes = [];
  for (let p = 2; p <= to; p++) {
    if (composite[p]) continue;
    primes.push(p);
    for (let j = p * p; j <= to; j += p) composite[j] = 1;
  }
  return primes;
}
```

### Python

```
def sieve(n):
    composite = bytearray(n + 1)
    primes = []
    for p in range(2, n + 1):
        if not composite[p]:
            primes.append(p)
            for j in range(p * p, n + 1, p):
                composite[j] = 1
    return primes
```

## Häufig gestellte Fragen (FAQ)

### Ist 1 eine Primzahl?

Nein. Die Zahl 1 wird traditionell nicht als Primzahl betrachtet. Der Grund ist mathematisch – wenn wir 1 als Primzahl betrachten würden, würde der Satz der eindeutigen Primfaktorzerlegung seine Gültigkeit verlieren.

### Ist 2 eine Primzahl?

Ja. Die Zahl 2 ist die kleinste und zugleich einzige gerade Primzahl. Alle anderen geraden Zahlen sind durch zwei teilbar, also zusammengesetzt.

### Wie viele Primzahlen gibt es?

Unendlich viele. Euklid bewies dies um 300 v. Chr. mit einem eleganten Beweis durch Widerspruch: Angenommen, es gäbe endlich viele Primzahlen. Ihr Produkt + 1 kann dann durch keine von ihnen teilbar sein – somit ist es eine neue Primzahl, ein Widerspruch.

### Was sind Primzahlzwillinge?

Primzahlzwillinge sind Paare von Primzahlen, die sich um 2 unterscheiden, zum Beispiel (3, 5), (11, 13), (17, 19), (41, 43). Ob es unendlich viele davon gibt, ist bis heute eine ungelöste Frage der Mathematik (Vermutung über Primzahlzwillinge).

### Wie schnell arbeitet der Algorithmus?

Das Sieb des Eratosthenes hat eine Zeitkomplexität von O(n log log n). Für einen Bereich von bis zu 10 Millionen wird die Berechnung im Browser typischerweise in unter 100 ms durchgeführt.

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