# Generatore di numeri primi

> Genera tutti i numeri primi in un intervallo o N numeri primi casuali. Calcolo istantaneo nel browser con il Crivello di Eratostene, senza server.

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Tools are interactive browser apps; there is no public API, no endpoints to call and no server-side processing. To use a tool, open its HTML page in a browser.

## Cos’è un numero primo?

Un **numero primo** è un numero naturale maggiore di 1 che è divisibile solo per 1 e per se stesso. I numeri primi più piccoli sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Il numero 2 è l’unico numero primo pari; tutti gli altri numeri pari sono divisibili per due.

Numeri come 4 (= 2 × 2), 6 (= 2 × 3) o 15 (= 3 × 5) **non** sono numeri primi; li chiamiamo numeri composti.

## Come funziona il generatore?

Per elencare tutti i numeri primi in un intervallo, utilizziamo il **Crivello di Eratostene** – uno degli algoritmi più antichi ed efficaci, descritto dal matematico greco Eratostene di Cirene intorno al 240 a.C.

L’algoritmo elimina progressivamente i multipli di ogni numero primo trovato. Ciò che rimane sono i numeri primi. L’intero calcolo avviene **direttamente nel tuo browser** – nessun dato viene inviato al server.

Per la selezione casuale, il generatore crea prima un elenco di tutti i numeri primi nell’intervallo e quindi ne seleziona casualmente il numero desiderato utilizzando un generatore crittograficamente sicuro (`crypto.getRandomValues()`).

## Funzionalità del generatore

- **Tutti i numeri primi** – elenca ogni numero primo nell’intervallo specificato (max 10.000)
- **Selezione casuale** – seleziona N numeri primi casuali dall’intervallo (adatto per intervalli grandi)
- **Ordinamento** – ordina i risultati in ordine crescente
- **Separatore** – scegli come i numeri saranno separati durante la copia
- **Preset rapidi** – gli intervalli più comuni con un solo clic

## Dove vengono utilizzati i numeri primi?

### Crittografia e sicurezza

I numeri primi sono la base della crittografia moderna. Algoritmi come **RSA** funzionano sul principio che il prodotto di due grandi numeri primi è facile da calcolare, ma la scomposizione inversa in fattori primi è computazionalmente molto difficile.

- **Crittografia RSA** – le chiavi sono generate da due grandi numeri primi
- **Diffie-Hellman** – scambio di chiavi su un modulo primo
- **Funzioni hash** – numeri primi come costanti magiche (SHA, MD5)

### Matematica e scienza

- **Teoria dei numeri** – elementi costitutivi fondamentali degli interi
- **Congettura di Goldbach** – ogni numero pari > 2 può essere espresso come la somma di due numeri primi (ancora non dimostrato)
- **Ipotesi di Riemann** – uno dei problemi di Hilbert, riguarda la distribuzione dei numeri primi

### Usi pratici

- **Tabelle hash** – la dimensione della tabella come numero primo riduce le collisioni
- **Generatore di numeri pseudo-casuali** – congruenza lineare con un modulo primo
- **Musica e ritmo** – poliritmi con lunghezze di ciclo prime

## Distribuzione dei numeri primi

I numeri primi sono distribuiti irregolarmente tra i numeri naturali, ma la loro densità diminuisce con l’aumentare dell’intervallo. Questo è descritto dal **Teorema dei numeri primi**: il numero di numeri primi fino a N è approssimativamente N / ln(N).

| Intervallo | Numero di numeri primi |
| --- | --- |
| 1–10 | 4 |
| 1–100 | 25 |
| 1–1 000 | 168 |
| 1–10 000 | 1 229 |
| 1–100 000 | 9 592 |
| 1–1 000 000 | 78 498 |

## Il Crivello di Eratostene passo dopo passo

```
Intervallo 2–30:
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30]

1. Seleziona 2, elimina i multipli: 4, 6, 8, 10, 12...
2. Seleziona 3, elimina i multipli: 9, 15, 21, 27...
3. Seleziona 5, elimina i multipli: 25...
4. √30 ≈ 5.5 → fatto

Numeri primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
```

## Il Crivello di Eratostene nel codice

### JavaScript

```
function sieve(to) {
  const composite = new Uint8Array(to + 1);
  const primes = [];
  for (let p = 2; p <= to; p++) {
    if (composite[p]) continue;
    primes.push(p);
    for (let j = p * p; j <= to; j += p) composite[j] = 1;
  }
  return primes;
}
```

### Python

```
def sieve(n):
    composite = bytearray(n + 1)
    primes = []
    for p in range(2, n + 1):
        if not composite[p]:
            primes.append(p)
            for j in range(p * p, n + 1, p):
                composite[j] = 1
    return primes
```

## Domande frequenti (FAQ)

### 1 è un numero primo?

No. Il numero 1 non è tradizionalmente considerato un numero primo. La ragione è matematica: se considerassimo 1 un numero primo, il teorema fondamentale dell'aritmetica (scomposizione unica in fattori primi) perderebbe la sua validità.

### 2 è un numero primo?

Sì. Il numero 2 è il numero primo più piccolo e l'unico numero primo pari. Tutti gli altri numeri pari sono divisibili per due, quindi sono numeri composti.

### Quanti numeri primi esistono?

Infiniti. Euclide lo dimostrò intorno al 300 a.C. con una elegante dimostrazione per assurdo: supponiamo che esista un numero finito di numeri primi. Il loro prodotto + 1 non potrebbe essere divisibile da nessuno di essi – quindi sarebbe un nuovo numero primo, una contraddizione.

### Cosa sono i primi gemelli?

I numeri primi gemelli sono coppie di numeri primi che differiscono di 2, ad esempio (3, 5), (11, 13), (17, 19), (41, 43). Se ne esistano infiniti è ancora una questione irrisolta in matematica (Congettura dei numeri primi gemelli).

### Quanto è veloce l'algoritmo?

Il Crivello di Eratostene ha una complessità temporale di O(n log log n). Per un intervallo fino a 10 milioni, il calcolo nel browser si esegue tipicamente in meno di 100 ms.

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