# Generator liczb pierwszych

> Wyświetl wszystkie liczby pierwsze w zakresie lub wylosuj N z nich. Sito Eratostenesa liczy błyskawicznie w przeglądarce – bez serwera i czekania.

URL: https://acrafto.com/pl/generator-liczb-pierwszych/

Tools are interactive browser apps; there is no public API, no endpoints to call and no server-side processing. To use a tool, open its HTML page in a browser.

## Co to jest liczba pierwsza?

**Liczba pierwsza** to liczba naturalna większa od 1, która dzieli się tylko przez 1 i przez siebie samą. Najmniejsze liczby pierwsze to 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą – wszystkie inne liczby parzyste są podzielne przez dwa.

Liczby takie jak 4 (= 2 × 2), 6 (= 2 × 3) czy 15 (= 3 × 5) **nie są** liczbami pierwszymi – nazywamy je liczbami złożonymi.

## Jak działa generator?

Do wyświetlania wszystkich liczb pierwszych w zakresie używamy **sita Eratostenesa** – jednego z najstarszych i najefektywniejszych algorytmów, który opisał grecki matematyk Eratostenes z Cyreny około 240 r. p.n.e.

Algorytm kolejno wykreśla wielokrotności każdej znalezionej liczby pierwszej. Co pozostaje, to liczby pierwsze. Całe obliczenia odbywają się **bezpośrednio w Twojej przeglądarce** – żadne dane nie są wysyłane na serwer.

W przypadku losowego wyboru generator najpierw tworzy listę wszystkich liczb pierwszych w zakresie, a następnie losowo wybiera z niej żądaną liczbę za pomocą kryptograficznie bezpiecznego generatora (`crypto.getRandomValues()`).

## Funkcje generatora

- **Wszystkie liczby pierwsze** – wyświetla każdą liczbę pierwszą w podanym zakresie (max. 10 000)
- **Losowy wybór** – wybiera N losowych liczb pierwszych z zakresu (odpowiednie dla dużych zakresów)
- **Sortowanie** – sortuj wyniki rosnąco
- **Separator** – wybierz, w jaki sposób liczby będą oddzielone podczas kopiowania
- **Szybkie ustawienia** – najczęściej używane zakresy jednym kliknięciem

## Gdzie używane są liczby pierwsze?

### Kryptografia i bezpieczeństwo

Liczby pierwsze są podstawą współczesnej kryptografii. Algorytmy takie jak **RSA** działają na zasadzie, że iloczyn dwóch dużych liczb pierwszych jest łatwy do obliczenia, ale rozłożenie ich z powrotem na czynniki pierwsze jest obliczeniowo bardzo trudne.

- **Szyfrowanie RSA** – klucze są generowane z dwóch dużych liczb pierwszych
- **Diffie-Hellman** – wymiana kluczy z modułem pierwszoloczbowym
- **Funkcje skrótu (Hash)** – liczby pierwsze jako magiczne stałe (SHA, MD5)

### Matematyka i nauka

- **Teoria liczb** – podstawowe elementy budulcowe liczb całkowitych
- **Hipoteza Goldbacha** – każda liczba parzysta > 2 może być wyrażona jako suma dwóch liczb pierwszych (nadal nieudowodniona)
- **Hipoteza Riemanna** – jeden z problemów Hilberta, dotyczy rozkładu liczb pierwszych

### Praktyczne zastosowania

- **Tablice skrótu (Hash)** – rozmiar tablicy jako liczba pierwsza zmniejsza kolizje
- **Generatory liczb pseudolosowych** – kongruencja liniowa z modułem pierwszoloczbowym
- **Muzyka i rytm** – polirytmy z cyklami o długościach liczb pierwszych

## Rozkład liczb pierwszych

Liczby pierwsze są rozmieszczone nieregularnie wśród liczb naturalnych, ale ich gęstość maleje wraz ze wzrostem zakresu. Opisuje to **Twierdzenie o liczbach pierwszych**: liczba liczb pierwszych do N wynosi w przybliżeniu N / ln(N).

| Zakres | Liczba liczb pierwszych |
| --- | --- |
| 1–10 | 4 |
| 1–100 | 25 |
| 1–1 000 | 168 |
| 1–10 000 | 1 229 |
| 1–100 000 | 9 592 |
| 1–1 000 000 | 78 498 |

## Sito Eratostenesa krok po kroku

```
Zakres 2–30:
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30]

1. Wybierz 2, wykreśl wielokrotności: 4, 6, 8, 10, 12...
2. Wybierz 3, wykreśl wielokrotności: 9, 15, 21, 27...
3. Wybierz 5, wykreśl wielokrotności: 25...
4. √30 ≈ 5.5 → gotowe

Liczby pierwsze: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
```

## Sito Eratostenesa w kodzie

### JavaScript

```
function sieve(to) {
  const composite = new Uint8Array(to + 1);
  const primes = [];
  for (let p = 2; p <= to; p++) {
    if (composite[p]) continue;
    primes.push(p);
    for (let j = p * p; j <= to; j += p) composite[j] = 1;
  }
  return primes;
}
```

### Python

```
def sieve(n):
    composite = bytearray(n + 1)
    primes = []
    for p in range(2, n + 1):
        if not composite[p]:
            primes.append(p)
            for j in range(p * p, n + 1, p):
                composite[j] = 1
    return primes
```

## Często zadawane pytania (FAQ)

### Czy 1 jest liczbą pierwszą?

Nie. Liczba 1 tradycyjnie nie jest uważana za liczbę pierwszą. Powód jest matematyczny – gdybyśmy uznali 1 za liczbę pierwszą, straciłoby ważność twierdzenie o jednoznacznym rozkładzie na czynniki pierwsze.

### Czy 2 jest liczbą pierwszą?

Tak. Liczba 2 jest najmniejszą i jednocześnie jedyną parzystą liczbą pierwszą. Wszystkie inne liczby parzyste są podzielne przez dwa, a więc są złożone.

### Ile jest liczb pierwszych?

Nieskończenie wiele. Euklides udowodnił to około 300 r. p.n.e. eleganckim dowodem przez sprzeczność: załóżmy, że istnieje skończona liczba liczb pierwszych. Ich iloczyn + 1 nie może być wtedy podzielny przez żadną z nich – jest to zatem nowa liczba pierwsza, co prowadzi do sprzeczności.

### Co to są liczby pierwsze bliźniacze?

Liczby pierwsze bliźniacze to pary liczb pierwszych różniących się o 2, na przykład (3, 5), (11, 13), (17, 19), (41, 43). Czy istnieje ich nieskończenie wiele, pozostaje do dziś nierozwiązanym problemem matematyki (Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych).

### Jak szybko działa algorytm?

Sito Eratostenesa ma złożoność czasową O(n log log n). Dla zakresu do 10 milionów, obliczenia w przeglądarce zazwyczaj trwają poniżej 100 ms.

## Other languages

- Čeština (cs): [Generátor prvočísel](https://acrafto.com/cs/generator-prvocisel/) ([Markdown](https://acrafto.com/cs/generator-prvocisel/index.md))
- Slovenčina (sk): [Generátor prvočísel](https://acrafto.com/sk/generator-prvocisel/) ([Markdown](https://acrafto.com/sk/generator-prvocisel/index.md))
- English (en): [Prime Number Generator](https://acrafto.com/en/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/en/prime-number-generator/index.md))
- Deutsch (de): [Primzahlgenerator](https://acrafto.com/de/online-primzahl-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/de/online-primzahl-generator/index.md))
- Français (fr): [Générateur de nombres premiers](https://acrafto.com/fr/generateur-nombres-premiers/) ([Markdown](https://acrafto.com/fr/generateur-nombres-premiers/index.md))
- Español (es): [Generador de números primos](https://acrafto.com/es/generador-numeros-primos-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/es/generador-numeros-primos-online/index.md))
- Italiano (it): [Generatore di numeri primi](https://acrafto.com/it/generatore-numeri-primi/) ([Markdown](https://acrafto.com/it/generatore-numeri-primi/index.md))
- Português (pt): [Gerador de números primos](https://acrafto.com/pt/gerador-numeros-primos-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/pt/gerador-numeros-primos-online/index.md))
- Nederlands (nl): [Priemgetallengenerator](https://acrafto.com/nl/online-priemgetalgenerator/) ([Markdown](https://acrafto.com/nl/online-priemgetalgenerator/index.md))
- Română (ro): [Generator numere prime](https://acrafto.com/ro/generator-numere-prime-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/ro/generator-numere-prime-online/index.md))
- Magyar (hu): [Prímszám generátor](https://acrafto.com/hu/primszam-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/hu/primszam-generator/index.md))
- Ελληνικά (el): [Γεννήτρια πρώτων αριθμών](https://acrafto.com/el/gennitria-proton-arithmon-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/el/gennitria-proton-arithmon-online/index.md))
- Български (bg): [Генератор на прости числа](https://acrafto.com/bg/generator-na-prosti-chisla-onlajn/) ([Markdown](https://acrafto.com/bg/generator-na-prosti-chisla-onlajn/index.md))
- Hrvatski (hr): [Generator prostih brojeva](https://acrafto.com/hr/generator-prostih-brojeva-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/hr/generator-prostih-brojeva-online/index.md))
- Slovenščina (sl): [Generator praštevil](https://acrafto.com/sl/generator-prastevil/) ([Markdown](https://acrafto.com/sl/generator-prastevil/index.md))
- Eesti (et): [Algarvude generaator](https://acrafto.com/et/algarvude-generaator/) ([Markdown](https://acrafto.com/et/algarvude-generaator/index.md))
- Latviešu (lv): [Pirmskaitļu ģenerators](https://acrafto.com/lv/primskaitlu-generators/) ([Markdown](https://acrafto.com/lv/primskaitlu-generators/index.md))
- Lietuvių (lt): [Pirminių skaičių generatorius](https://acrafto.com/lt/pirminiu-skaiciu-generatorius/) ([Markdown](https://acrafto.com/lt/pirminiu-skaiciu-generatorius/index.md))
- Svenska (sv): [Primtalsgenerator](https://acrafto.com/sv/primtalsgenerator-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/sv/primtalsgenerator-online/index.md))
- Dansk (da): [Primtalsgenerator](https://acrafto.com/da/primtal-generator-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/da/primtal-generator-online/index.md))
- Suomi (fi): [Alkulukugeneraattori](https://acrafto.com/fi/alkuluku-generaattori/) ([Markdown](https://acrafto.com/fi/alkuluku-generaattori/index.md))
- Norsk (no): [Primtallsgenerator](https://acrafto.com/no/primtallsgenerator/) ([Markdown](https://acrafto.com/no/primtallsgenerator/index.md))
- Українська (uk): [Генератор простих чисел](https://acrafto.com/uk/generator-prostyh-chysel/) ([Markdown](https://acrafto.com/uk/generator-prostyh-chysel/index.md))
- Русский (ru): [Генератор простых чисел](https://acrafto.com/ru/generator-prostykh-chisel-onlayn/) ([Markdown](https://acrafto.com/ru/generator-prostykh-chisel-onlayn/index.md))
- Српски (sr): [Generator prostih brojeva](https://acrafto.com/sr/generator-prostih-brojeva-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/sr/generator-prostih-brojeva-online/index.md))
- Македонски (mk): [Генератор на прости броеви](https://acrafto.com/mk/generator-na-prosti-broevi/) ([Markdown](https://acrafto.com/mk/generator-na-prosti-broevi/index.md))
- Bosanski (bs): [Generator prostih brojeva](https://acrafto.com/bs/generator-prostih-brojeva/) ([Markdown](https://acrafto.com/bs/generator-prostih-brojeva/index.md))
- Shqip (sq): [Gjenerator numrash të thjeshtë](https://acrafto.com/sq/gjenerator-numrash-te-thjeshte/) ([Markdown](https://acrafto.com/sq/gjenerator-numrash-te-thjeshte/index.md))
- Türkçe (tr): [Asal sayı bulucu](https://acrafto.com/tr/asal-sayi-olusturucu/) ([Markdown](https://acrafto.com/tr/asal-sayi-olusturucu/index.md))
- 日本語 (ja): [素数一覧・生成ツール](https://acrafto.com/ja/online-prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/ja/online-prime-number-generator/index.md))
- 한국어 (ko): [소수 구하기](https://acrafto.com/ko/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/ko/prime-number-generator/index.md))
- العربية (ar): [مولد الأعداد الأولية](https://acrafto.com/ar/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/ar/prime-number-generator/index.md))
- हिन्दी (hi): [अभाज्य संख्या जनरेटर](https://acrafto.com/hi/prime-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/hi/prime-generator/index.md))
- Bahasa Indonesia (id): [Generator bilangan prima](https://acrafto.com/id/generator-bilangan-prima-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/id/generator-bilangan-prima-online/index.md))
- Tiếng Việt (vi): [Trình tạo số nguyên tố](https://acrafto.com/vi/bo-tao-so-nguyen-to-truc-tuyen/) ([Markdown](https://acrafto.com/vi/bo-tao-so-nguyen-to-truc-tuyen/index.md))
- ไทย (th): [หาจำนวนเฉพาะ](https://acrafto.com/th/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/th/prime-number-generator/index.md))
- עברית (he): [מחולל מספרים ראשוניים](https://acrafto.com/he/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/he/prime-number-generator/index.md))