# Gerador de números primos

> Liste todos os números primos em um intervalo ou gere N primos aleatórios. Usa o Crivo de Eratóstenes, cálculo instantâneo no navegador.

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## O que é um número primo?

**Um número primo** é um número natural maior que 1 que só é divisível por 1 e por si mesmo. Os menores números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… O número 2 é o único número primo par – todos os outros números pares são divisíveis por dois.

Números como 4 (= 2 × 2), 6 (= 2 × 3) ou 15 (= 3 × 5) **não** são primos – são chamados de números compostos.

## Como o gerador funciona?

Para listar todos os números primos em um intervalo, usamos o **Crivo de Eratóstenes** – um dos algoritmos mais antigos e eficientes, descrito pelo matemático grego Eratóstenes de Cirene por volta de 240 a.C.

O algoritmo elimina progressivamente os múltiplos de cada número primo encontrado. O que resta são os números primos. Todo o cálculo ocorre **diretamente no seu navegador** – nenhum dado é enviado para o servidor.

Para a seleção aleatória, o gerador primeiro constrói uma lista de todos os números primos no intervalo e, em seguida, seleciona aleatoriamente o número desejado usando um gerador criptograficamente seguro (`crypto.getRandomValues()`).

## Recursos do gerador

- **Todos os primos** – lista todos os números primos no intervalo especificado (máx. 10 000)
- **Seleção aleatória** – seleciona N números primos aleatórios do intervalo (adequado para grandes intervalos)
- **Classificação** – classifica os resultados em ordem crescente
- **Separador** – escolha como os números serão separados ao copiar
- **Predefinições rápidas** – os intervalos mais comuns com um clique

## Onde os números primos são usados?

### Criptografia e segurança

Números primos são a base da criptografia moderna. Algoritmos como **RSA** funcionam no princípio de que o produto de dois grandes números primos é fácil de calcular, mas a fatoração de volta para os números primos originais é computacionalmente muito difícil.

- **Criptografia RSA** – chaves são geradas a partir de dois grandes números primos
- **Diffie-Hellman** – troca de chaves sobre um módulo primo
- **Funções de Hash** – números primos como constantes mágicas (SHA, MD5)

### Matemática e ciência

- **Teoria dos números** – os blocos de construção fundamentais dos números inteiros
- **Conjectura de Goldbach** – todo número par > 2 pode ser expresso como a soma de dois números primos (ainda não provado)
- **Hipótese de Riemann** – um dos problemas de Hilbert, relacionado à distribuição de números primos

### Usos práticos

- **Tabelas Hash** – o tamanho da tabela como um número primo reduz colisões
- **Geradores de números pseudoaleatórios** – congruência linear com um módulo primo
- **Música e ritmo** – polirritmos com ciclos de duração prima

## Distribuição de números primos

Os números primos são distribuídos irregularmente entre os números naturais, mas sua densidade diminui com o aumento do intervalo. Isso é descrito pelo **Teorema dos Números Primos**: o número de primos até N é aproximadamente N / ln(N).

| Intervalo | Número de primos |
| --- | --- |
| 1–10 | 4 |
| 1–100 | 25 |
| 1–1 000 | 168 |
| 1–10 000 | 1 229 |
| 1–100 000 | 9 592 |
| 1–1 000 000 | 78 498 |

## Crivo de Eratóstenes passo a passo

```
Intervalo 2–30:
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30]

1. Selecione 2, risque os múltiplos: 4, 6, 8, 10, 12...
2. Selecione 3, risque os múltiplos: 9, 15, 21, 27...
3. Selecione 5, risque os múltiplos: 25...
4. √30 ≈ 5.5 → concluído

Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
```

## Crivo de Eratóstenes em código

### JavaScript

```
function sieve(to) {
  const composite = new Uint8Array(to + 1);
  const primes = [];
  for (let p = 2; p <= to; p++) {
    if (composite[p]) continue;
    primes.push(p);
    for (let j = p * p; j <= to; j += p) composite[j] = 1;
  }
  return primes;
}
```

### Python

```
def sieve(n):
    composite = bytearray(n + 1)
    primes = []
    for p in range(2, n + 1):
        if not composite[p]:
            primes.append(p)
            for j in range(p * p, n + 1, p):
                composite[j] = 1
    return primes
```

## Perguntas Frequentes (FAQ)

### 1 é um número primo?

Não. O número 1 não é tradicionalmente considerado um número primo. A razão é matemática – se considerássemos 1 um número primo, o teorema fundamental da aritmética (sobre a fatoração única em primos) perderia sua validade.

### 2 é um número primo?

Sim. O número 2 é o menor e o único número primo par. Todos os outros números pares são divisíveis por dois, ou seja, são compostos.

### Quantos números primos existem?

Infinitos. Euclides provou isso por volta de 300 a.C. com uma elegante prova por contradição: suponha que exista um número finito de primos. O produto deles + 1 não pode ser divisível por nenhum deles – portanto, é um novo número primo, uma contradição.

### O que são primos gêmeos?

Primos gêmeos são pares de números primos que diferem em 2, por exemplo (3, 5), (11, 13), (17, 19), (41, 43). Se existem infinitos deles é uma questão matemática ainda não resolvida (Conjectura dos Primos Gêmeos).

### Com que rapidez o algoritmo funciona?

O Crivo de Eratóstenes tem uma complexidade de tempo de O(n log log n). Para um intervalo de até 10 milhões, o cálculo no navegador geralmente ocorre em menos de 100 ms.

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