# Генератор простих чисел

> Виведіть усі прості числа в діапазоні або оберіть N випадкових. Решето Ератосфена для миттєвих обчислень у браузері – без сервера, без очікування.

URL: https://acrafto.com/uk/generator-prostyh-chysel/

Tools are interactive browser apps; there is no public API, no endpoints to call and no server-side processing. To use a tool, open its HTML page in a browser.

## Що таке просте число?

**Просте число** — це натуральне число, більше за 1, яке ділиться лише на 1 та на себе. Найменші прості числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29… Число 2 — єдине парне просте число; усі інші парні числа діляться на два.

Числа, такі як 4 (= 2 × 2), 6 (= 2 × 3) або 15 (= 3 × 5), **не є** простими числами — їх називають складеними числами.

## Як працює генератор?

Для виведення всіх простих чисел у діапазоні ми використовуємо **решето Ератосфена** — один з найстаріших та найефективніших алгоритмів, описаний грецьким математиком Ератосфеном з Кірени близько 240 року до н. е.

Алгоритм послідовно викреслює кратні кожного знайденого простого числа. Те, що залишається, — це прості числа. Весь розрахунок відбувається **прямо у вашому браузері** — жодні дані не надсилаються на сервер.

Для випадкового вибору генератор спочатку створює список усіх простих чисел у діапазоні, а потім випадково обирає з нього потрібну кількість за допомогою криптографічно безпечного генератора (`crypto.getRandomValues()`).

## Функції генератора

- **Усі прості числа** – виводить кожне просте число в заданому діапазоні (макс. 10 000)
- **Випадковий вибір** – обирає N випадкових простих чисел з діапазону (підходить для великих діапазонів)
- **Сортування** – сортуйте результати за зростанням
- **Розділювач** – оберіть, як числа будуть розділені при копіюванні
- **Швидкі налаштування** – найпоширеніші діапазони одним кліком

## Де використовуються прості числа?

### Криптографія та безпека

Прості числа є основою сучасної криптографії. Алгоритми, такі як **RSA**, працюють на принципі, що добуток двох великих простих чисел легко обчислити, але зворотне розкладання на прості множники є обчислювально дуже складним.

- **Шифрування RSA** – ключі генеруються з двох великих простих чисел
- **Діффі-Геллман** – обмін ключами за модулем простого числа
- **Хеш-функції** – прості числа як магічні константи (SHA, MD5)

### Математика та наука

- **Теорія чисел** – основні будівельні блоки цілих чисел
- **Гіпотеза Гольдбаха** – кожне парне число > 2 можна виразити як суму двох простих чисел (досі не доведено)
- **Гіпотеза Рімана** – одна з проблем Гільберта, стосується розподілу простих чисел

### Практичне використання

- **Хеш-таблиці** – розмір таблиці як просте число зменшує колізії
- **Генератори псевдовипадкових чисел** – лінійна конгруенція з модулем простого числа
- **Музика та ритм** – поліритми з простими числовими довжинами циклів

## Розподіл простих чисел

Прості числа розподілені серед натуральних чисел нерівномірно, але їх щільність зменшується зі зростанням діапазону. Це описує **Теорема про розподіл простих чисел**: кількість простих чисел до N приблизно дорівнює N / ln(N).

| Діапазон | Кількість простих чисел |
| --- | --- |
| 1–10 | 4 |
| 1–100 | 25 |
| 1–1 000 | 168 |
| 1–10 000 | 1 229 |
| 1–100 000 | 9 592 |
| 1–1 000 000 | 78 498 |

## Решето Ератосфена крок за кроком

```
Діапазон 2–30:
[2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30]

1. Оберіть 2, викресліть кратні: 4, 6, 8, 10, 12...
2. Оберіть 3, викресліть кратні: 9, 15, 21, 27...
3. Оберіть 5, викресліть кратні: 25...
4. √30 ≈ 5.5 → готово

Прості числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
```

## Решето Ератосфена в коді

### JavaScript

```
function sieve(to) {
  const composite = new Uint8Array(to + 1);
  const primes = [];
  for (let p = 2; p <= to; p++) {
    if (composite[p]) continue;
    primes.push(p);
    for (let j = p * p; j <= to; j += p) composite[j] = 1;
  }
  return primes;
}
```

### Python

```
def sieve(n):
    composite = bytearray(n + 1)
    primes = []
    for p in range(2, n + 1):
        if not composite[p]:
            primes.append(p)
            for j in range(p * p, n + 1, p):
                composite[j] = 1
    return primes
```

## Часті запитання (FAQ)

### Чи є 1 простим числом?

Ні. Число 1 традиційно не вважається простим числом. Причина математична — якби ми вважали 1 простим числом, втратила б чинність теорема про однозначний розклад на прості множники.

### Чи є 2 простим числом?

Так. Число 2 — найменше і водночас єдине парне просте число. Усі інші парні числа діляться на два, тобто є складеними.

### Скільки простих чисел існує?

Нескінченно багато. Евклід довів це близько 300 року до н. е. елегантним доведенням від супротивного: припустимо, що існує кінцева кількість простих чисел. Їхній добуток + 1 тоді не може ділитися жодним з них — отже, це нове просте число, протиріччя.

### Що таке прості числа-близнюки?

Прості числа-близнюки — це пари простих чисел, що відрізняються на 2, наприклад (3, 5), (11, 13), (17, 19), (41, 43). Чи існує їх нескінченно багато, досі є невирішеним питанням математики (Гіпотеза про прості числа-близнюки).

### Наскільки швидко працює алгоритм?

Решето Ератосфена має часову складність O(n log log n). Для діапазону до 10 мільйонів обчислення в браузері зазвичай відбувається менш ніж за 100 мс.

## Other languages

- Čeština (cs): [Generátor prvočísel](https://acrafto.com/cs/generator-prvocisel/) ([Markdown](https://acrafto.com/cs/generator-prvocisel/index.md))
- Slovenčina (sk): [Generátor prvočísel](https://acrafto.com/sk/generator-prvocisel/) ([Markdown](https://acrafto.com/sk/generator-prvocisel/index.md))
- English (en): [Prime Number Generator](https://acrafto.com/en/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/en/prime-number-generator/index.md))
- Deutsch (de): [Primzahlgenerator](https://acrafto.com/de/online-primzahl-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/de/online-primzahl-generator/index.md))
- Français (fr): [Générateur de nombres premiers](https://acrafto.com/fr/generateur-nombres-premiers/) ([Markdown](https://acrafto.com/fr/generateur-nombres-premiers/index.md))
- Español (es): [Generador de números primos](https://acrafto.com/es/generador-numeros-primos-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/es/generador-numeros-primos-online/index.md))
- Italiano (it): [Generatore di numeri primi](https://acrafto.com/it/generatore-numeri-primi/) ([Markdown](https://acrafto.com/it/generatore-numeri-primi/index.md))
- Português (pt): [Gerador de números primos](https://acrafto.com/pt/gerador-numeros-primos-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/pt/gerador-numeros-primos-online/index.md))
- Nederlands (nl): [Priemgetallengenerator](https://acrafto.com/nl/online-priemgetalgenerator/) ([Markdown](https://acrafto.com/nl/online-priemgetalgenerator/index.md))
- Polski (pl): [Generator liczb pierwszych](https://acrafto.com/pl/generator-liczb-pierwszych/) ([Markdown](https://acrafto.com/pl/generator-liczb-pierwszych/index.md))
- Română (ro): [Generator numere prime](https://acrafto.com/ro/generator-numere-prime-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/ro/generator-numere-prime-online/index.md))
- Magyar (hu): [Prímszám generátor](https://acrafto.com/hu/primszam-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/hu/primszam-generator/index.md))
- Ελληνικά (el): [Γεννήτρια πρώτων αριθμών](https://acrafto.com/el/gennitria-proton-arithmon-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/el/gennitria-proton-arithmon-online/index.md))
- Български (bg): [Генератор на прости числа](https://acrafto.com/bg/generator-na-prosti-chisla-onlajn/) ([Markdown](https://acrafto.com/bg/generator-na-prosti-chisla-onlajn/index.md))
- Hrvatski (hr): [Generator prostih brojeva](https://acrafto.com/hr/generator-prostih-brojeva-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/hr/generator-prostih-brojeva-online/index.md))
- Slovenščina (sl): [Generator praštevil](https://acrafto.com/sl/generator-prastevil/) ([Markdown](https://acrafto.com/sl/generator-prastevil/index.md))
- Eesti (et): [Algarvude generaator](https://acrafto.com/et/algarvude-generaator/) ([Markdown](https://acrafto.com/et/algarvude-generaator/index.md))
- Latviešu (lv): [Pirmskaitļu ģenerators](https://acrafto.com/lv/primskaitlu-generators/) ([Markdown](https://acrafto.com/lv/primskaitlu-generators/index.md))
- Lietuvių (lt): [Pirminių skaičių generatorius](https://acrafto.com/lt/pirminiu-skaiciu-generatorius/) ([Markdown](https://acrafto.com/lt/pirminiu-skaiciu-generatorius/index.md))
- Svenska (sv): [Primtalsgenerator](https://acrafto.com/sv/primtalsgenerator-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/sv/primtalsgenerator-online/index.md))
- Dansk (da): [Primtalsgenerator](https://acrafto.com/da/primtal-generator-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/da/primtal-generator-online/index.md))
- Suomi (fi): [Alkulukugeneraattori](https://acrafto.com/fi/alkuluku-generaattori/) ([Markdown](https://acrafto.com/fi/alkuluku-generaattori/index.md))
- Norsk (no): [Primtallsgenerator](https://acrafto.com/no/primtallsgenerator/) ([Markdown](https://acrafto.com/no/primtallsgenerator/index.md))
- Русский (ru): [Генератор простых чисел](https://acrafto.com/ru/generator-prostykh-chisel-onlayn/) ([Markdown](https://acrafto.com/ru/generator-prostykh-chisel-onlayn/index.md))
- Српски (sr): [Generator prostih brojeva](https://acrafto.com/sr/generator-prostih-brojeva-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/sr/generator-prostih-brojeva-online/index.md))
- Македонски (mk): [Генератор на прости броеви](https://acrafto.com/mk/generator-na-prosti-broevi/) ([Markdown](https://acrafto.com/mk/generator-na-prosti-broevi/index.md))
- Bosanski (bs): [Generator prostih brojeva](https://acrafto.com/bs/generator-prostih-brojeva/) ([Markdown](https://acrafto.com/bs/generator-prostih-brojeva/index.md))
- Shqip (sq): [Gjenerator numrash të thjeshtë](https://acrafto.com/sq/gjenerator-numrash-te-thjeshte/) ([Markdown](https://acrafto.com/sq/gjenerator-numrash-te-thjeshte/index.md))
- Türkçe (tr): [Asal sayı bulucu](https://acrafto.com/tr/asal-sayi-olusturucu/) ([Markdown](https://acrafto.com/tr/asal-sayi-olusturucu/index.md))
- 日本語 (ja): [素数一覧・生成ツール](https://acrafto.com/ja/online-prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/ja/online-prime-number-generator/index.md))
- 한국어 (ko): [소수 구하기](https://acrafto.com/ko/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/ko/prime-number-generator/index.md))
- العربية (ar): [مولد الأعداد الأولية](https://acrafto.com/ar/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/ar/prime-number-generator/index.md))
- हिन्दी (hi): [अभाज्य संख्या जनरेटर](https://acrafto.com/hi/prime-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/hi/prime-generator/index.md))
- Bahasa Indonesia (id): [Generator bilangan prima](https://acrafto.com/id/generator-bilangan-prima-online/) ([Markdown](https://acrafto.com/id/generator-bilangan-prima-online/index.md))
- Tiếng Việt (vi): [Trình tạo số nguyên tố](https://acrafto.com/vi/bo-tao-so-nguyen-to-truc-tuyen/) ([Markdown](https://acrafto.com/vi/bo-tao-so-nguyen-to-truc-tuyen/index.md))
- ไทย (th): [หาจำนวนเฉพาะ](https://acrafto.com/th/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/th/prime-number-generator/index.md))
- עברית (he): [מחולל מספרים ראשוניים](https://acrafto.com/he/prime-number-generator/) ([Markdown](https://acrafto.com/he/prime-number-generator/index.md))